Windsog Teil 2

Windsog

Teil 2:   DIN EN 1991-1-4

 

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Sogberechnung

 

Die Formel

 

W   =  q  *  cp  *  SF                                                    [1a]
=  ½  *  Luftdichte   *  v²  *  (cpe + cpi)  *  SF           [1b]
=  ½  *  (1,25 kg/m³) *  v²  *  (cpe + cpi)  *  1,5          [1c]

 

ist allgemeingültige Physik und daher auch Grundlage für die DIN EN 1991-1-4. Die Formel gibt an, wie der Staudruck des Windes (q) auf die Dachfläche übertragen wird (cp). In der DIN EN 1991-1-4 ist der cp-Wert im Eck des Flachdaches für scharfkantige Gebäude mit 2,5 angegeben (Seite 40, Tabelle 7.2). Damit ist der Windsog im Eck 2,5-mal so hoch wie der Winddruck in Höhe des Flachdaches. Der Sicherheitsfaktor SF wird fest mit 1,5 angewendet und stellt sicher, dass die Unterschiede zwischen Theorie und Praxis ausgeglichen werden.

 

Zur Bemessung eines Daches lt. DIN EN 1991-1-4 benötigen wir

1.)     den Staudruck q in Höhe der Dachfläche

2.)     die Formbeiwerte cpfür Eck, Außenrand, Innenrand und Innenbereich

3.)     den Innendruckbeiwert cpi

4.)     die Flächeneinteilung des Daches (Ecken, Randbereiche, Innenbereich)

 

 

 

Staudruck

Der Staudruck q ergibt sich aus der Windgeschwindigkeit v (q = ½  *  Luftdichte  *  v²). Die Windgeschwindigkeit v wiederum ist abhängig von Gebäudehöhe, Windzone und Geländerauhigkeit.

 

Die Abhängigkeit der Windgeschwindigkeit von der Höhe resultiert aus der Luftreibung an der Erdoberfläche. Aufgrund der Reibung ist die Windgeschwindigkeit in Bodennähe geringer als weiter oben. Mit zunehmender Höhe nimmt dieser Effekt ab. Wie stark der Effekt wirkt, ergibt sich aus der Geländerauhigkeit. Über dem Meer ist die Bodenreibung am geringsten, in Innenstädten mit eng aneinander gebauten Hochhäusern am größten.

 

 

Windprofile für Inseln der Nordsee und Binnenland

Bild 1: Windprofile für Inseln der Nordsee und Binnenland

 

 

Der nationale Anhang DIN EN 1991-1-4/NA bildet in Abschnitt B.3.3 die Zusammenhänge von Höhe und Geländerauhigkeit zur Windgeschwindigkeit in mehreren Formeln ab. Ab einer Höhe von 2 m (Inseln der Nordsee), 4 m (küstennahe Gebiete) oder 7 m (Binnenland) errechnet sich der höhenabhängige Staudruck mit Exponentialfunktionen. Für geringere Höhen wird der Staudruck direkt angegeben, da die Exponentialfunktionen (Bild 1, blaue Linie) zu Windstille an der Erdoberfläche führen würden. Da dies erfahrungsgemäß nicht sein kann und erdnahe Verwirbelungen von den Formeln nicht erfasst werden können, ist dieses Vorgehen sinnvoll.

 


Die Exponentialfunktionen beziehen sich auf einen Bezugsstaudruck qref in 10 m Höhe, welcher seinerseits von der Windzone abhängt.

 

Den Bezugsstaudruck qref entnimmt man der Windzonenkarte in Anhang NA.A1. Diese weist 4 Windzonen auf:

1.       Süddeutschland                                                      (vref = 22,5 m/s -> qref = 0,32 kN/m²)

2.       Norddeutschland, westl. NRW, Voralpenland            (vref = 25,0 m/s -> qref = 0,39 kN/m²)

3.       Nordsee-Küstenregion, nördl. Mecklenburg…            (vref = 27,5 m/s -> qref = 0,47 kN/m²)

4.       Nordsee, Nordseeküste, Fehmarn, nördl. Rügen        (vref = 30,0 m/s -> qref = 0,56 kN/m²)

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Beispielrechnung 1

Gebäudestandort:         Stuttgart

Geländekategorie:         Binnenland
Gebäudehöhe:              16 m

Aus dem Gebäudestandort ergibt sich die Windzone = 1, der Referenzstaudruck qref = 0,32 kN/m²
Der Staudruck am Dach berechnet sich lt. DIN EN 1991-1-4/NA Seite 18, Formel NA.B.2, wie folgt:

q    = 1,7 * qref * (h / 10 )0,37

      = 1,7 * 0,32 kN/m² * (16m / 10m) 0,37

      = 0,647 kN/m²

 

 

 

Formbeiwerte am Flachdach

Die Formbeiwerte am Flachdach (Dachneigung < 5°) sind für 4 Dachbereiche zu ermitteln:
Eck, Außenrand, Innenrand und Innenbereich.

 

Die Länge und Breite der Bereiche ergeben sich aus dem Wert e, welcher das Minimum von windwirksamer Fassadenbreite und doppelter Gebäudehöhe darstellt.

 

e = Minimum (2*h , b)

Dachbereichseinteilung

 

Bild 2: Dachbereichseinteilung

 

Beispiel:

Gebäudehöhe = 8 m, Gebäudelänge b1 = 32 m, Gebäudebreite b2 = 10 m

 

Bei Anströmung auf b1: e = min (2 * 8m , 32m) = 16 m

Bei Anströmung auf b2: e = min (2 * 8m , 10m) = 10 m

 

Aus den 2 Werten für e ergeben sich für die Längs- und Breitseite unterschiedliche Randtiefen und Eckschenkellängen. Die jeweiligen Werte können mit den Angaben aus Bild 2 bestimmt werden.

 

Durch Überlagerung aller 4 Windanströmrichtungen ergibt sich die Gesamtbereichseinteilung.

 

Dachflächeneinteilung nach Überlagerung

Bild 3: Dachflächeneinteilung nach Überlagerung

 

Für die Bemessung eines Flachdaches mit luftundurchlässiger Tragdecke müssen nur noch die Formbeiwerte aus Tabelle 7.2 (Seite 40) entnommen werden. Es gelten die Werte in der Spalte
cpe,1, da die Lasteinzugsfläche für Dachbauschrauben < 1 m² ist.

 

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Hintergrundinfo Lasteinzugsfläche:

Wenn der Wind mit seinen Wirbeln an einer Oberfläche saugt, tut er dies an verschiedenen Stellen unterschiedlich stark. Evtl. bilden sich an einer Oberfläche sogar mehrere Wirbel. Der Randwirbel bildet starken Sog nahe der Dachkante. Weiter innen strömen die Gasteilchen in Richtung der Dachoberfläche und können dort sogar Druck bewirken. Je größer eine Oberfläche, desto besser ist die Lastverteilung, da sich Bereiche mit mehr bzw. weniger Sog auf ein Mittelmaß ausgleichen. Dieser Ausgleich kann aber nur wirken, wenn die zugehörigen Lasteinzugsflächen mind. 1 m², idealerweise > 10 m², groß und ausreichend ausgesteift sind. Dies ist bei Dachbahnen nicht der Fall. Die Lasteinzugsfläche je Dachbauschraube ist <= 0,5 m² (wg. Mindestanzahl 2 Befestiger / m² aus der Fachregel) und eine Dachbahn ist nicht starr genug um die unterschiedlichen Sogkräfte ausgemittelt auf die einzelnen Schrauben zu verteilen. Daher gilt für die Bemessung von Dachbauschrauben immer der Wert cpe,1!


Beispielrechnung 2

Gebäudestandort:      Hannover
Geländekategorie:      Binnenland
Gebäudehöhe:           8 m

Aus dem Gebäudestandort ergibt sich die Windzone = 2 mit Referenzstaudruck qref = 0,39 kN/m².
Der Staudruck am Dach berechnet sich lt. DIN 1991-1-4/NA, Seite 18, Formel (NA.B.2) wie folgt:

q    = 1,7 * qref * (h / 10 )0,37

      = 1,7 * 0,39 kN/m² * (8m / 10m) 0,37

      = 0,61 kN/m²

 

Formbeiwert* cp im Eck:               F    = 2,5
im Außenrand:      G    = 2,0
im Innenrand:       H    = 1,2
im Innenbereich:   I     = 0,6 (DIN 1991-1-4/NA, Seite 8, NCI zu 7.2.3)

 

Sicherheitsfaktor SF = 1,5

 

 

Mit Formel [1a] ( Wsog = q * cp * SF ) berechnet sich der Windsog für die 4 Dachbereiche wie folgt:

Weck               = 0,61 kN/m² * 2,5 * 1,5
= 2,29 kN /m²

WRand außen        = 0,61 kN/m² * 2,0 * 1,5
= 1,83 kN /m²

WRand innen         = 0,61 kN/m² * 1,2 * 1,5
= 1,10 kN /m²

Winnen              = 0,61 kN/m² * 0,6 * 1,5
= 0,55 kN /m²

 

*Anmerkung: Alle Formbeiwerte werden, tlw. entgegen der Originalschreibweise, ohne Vorzeichen dargestellt.


Dachrandausbildung

Hinter der Attika bildet sich ein Wirbel, welcher nur dann die Dachoberfläche erreichen kann, wenn er größer als die Höhe der Attika ist. Daher schützen Attiken insbesondere vor den kleinen Eckwirbeln und Wirbeln direkt an der Außenkante. Diesen Umstand berücksichtigt die DIN 1991-1-4 in Tabelle 7.2 (Seite 40). Dort werden, abhängig vom Verhältnis (Attikahöhe hp / Gebäudehöhe h), verringerte cpe-Werte für Dächer mit Attiken angegeben.

 

 

Wirbelbildung hinter Attika

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Bild 4: Wirbelbildung hinter Attika

 

 

Dächer mit abgeschrägten oder abgerundeten Dachkanten sind strömungstechnisch ebenfalls günstiger als scharfkantige Dachrandausbildungen. An Rundungen und schrägen Traufen „knickt“ der Luftstrom weniger scharf ab und führt zu einer sanfteren Umströmung der Traufe. Diese verhindert kleine Wirbel und die damit verbundenen, hohen Soglasten.

 

 

Innendruck

Bei Gebäuden mit luftdurchlässiger Tragdecke ist der Innendruck zu berücksichtigen. Die DIN EN 1991-1-4 unterscheidet beim Innendruck 3 Gebäudehüllentypen: geschlossen, durchlässig und offen.

-          Geschlossen ist ein Gebäude bei einem Öffnungsanteil der Außenwände < 1%. Verschließbare Fenster, Türen und Tore gelten nicht als Öffnung, sofern diese bei Sturm nicht betriebsbedingt geöffnet werden müssen (Rettungsdienste, Notaufnahme Krankenhaus…).
Der Inndruckbeiwert cpi für geschlossenen Gebäude ist 0.
Ausnahme: luftdurchlässige Tragdecken erhöhen cpi auf 0,2 (Siehe Basiswissen Windsog, Teil 1)

-          Offen sind Gebäude bei denen mind. eine Wand fehlt oder die Fassade an 2 Wandflächen zu mehr als 30 % offen ist. In diesen Fällen ermittelt man den Kraftbeiwert aus Tabelle 7.6 und 7.7.

-          Durchlässige Gebäude sind alle Fälle zwischen offen und geschlossen.

 

Der Innendruckbeiwert durchlässiger Gebäude errechnet sich aus dem Verhältnis der windangeströmten Öffnungen zu den Gesamtöffnungen. Das ist sinnvoll, da die windparallele und windabgewandten Öffnungen den Innendruck abbauen. Bei völlig gleichmäßig verteilten Öffnungen wird der Innendruckbeiwert zu ca. 0,15.

Sind alle Öffnungen zu einer Windanströmung hin gerichtet, nimmt der Innendruckbeiwert durch- lässiger Gebäudehüllen sein Maximum von 0,35 an. Zwischen gleichverteilten und 1-seitigen Öffnungen wird der cpi-Wert über den Hilfswert μ ermittelt:

μ = (windparallele + windabgewandte Öffnungen)  /  Gesamtöffnungsfläche       [2]

 

In Bild 7.13 (DIN EN 1991-1-4, Seite 54) kann der cpi-Wert über dem μ –Wert abgelesen werden. Die Bereiche mit negativem cpi entstehen durch Anströmungen mit höherem windabgewandtem als windzugewandtem Flächenanteil. Diese sind für uns irrelevant, da der Wind um 180° drehen kann und damit der windzugewandte Öffnungsanteil wieder überwiegt. Im Faktor h/d (Höhe zu Breite) wird ausgedrückt, dass Öffnungen in Türmen (h/d > 1) weniger Einfluss auf den cpi-Wert haben, als bei einem Flachbau (h/d <= 0,25). Im nachfolgenden Bild 5 sehen Sie eine vereinfachte Darstellung.

Innendruckbeiwert bei luftdurchlässiger Fassade

Bild 5: Innendruckbeiwert bei luftdurchlässiger Fassade

 

An Bild 5 erkennt man, dass der cpi-Wert nicht unter ca. 0,1 sinken kann (μ = 0,5 und h/d > 1). Beide Kurven enden bei einem μ-Wert von 0,35. Höhere Werte sind nur möglich, wenn die windzugewandten Öffnungen mindestens doppelt so groß wie die parallel und abgewandt liegenden Öffnungen sind. In diesem Fall liegt eine „dominante Fläche“ vor, bei welcher der cpi-Wert mit
0,75 * cpe des betroffenen Fassadenbereiches berechnet wird. Sind die Öffnungen der dominanten Fläche 3 x so groß wie die der restlichen Fassaden, wird cpi = 0,9 * cpe.

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Beispielrechnung 3

Gebäudestandort:                                    Husum
Geländekategorie:                                    küstennahes Gebiet
Gebäudehöhe:                                         12 m

Öffnungsflächen gesamt:                         32 m²
größte windzugewandte Öffnungsflächen: 20 m²

Aus dem Gebäudestandort ergibt sich die Windzone = 4 mit Referenzstaudruck qref = 0,56 kN/m².
Der Staudruck am Dach berechnet sich lt. DIN EN 1991-1-4/NA Seite 19, Formel NA.B.5 wie folgt:

q    = 2,3 * qref * (h / 10 )0,27    =    2,3 * 0,56 kN/m² * (12m / 10m) 0,27   =    1,35 kN/m²

Formbeiwert cp im Eck:                F    = 2,5
im Außenrand:      G    = 2,0
im Innenrand:       H    = 1,2
im Innenbereich:   I     = 0,6  (DIN 1991-1-4/NA, Seite 8, NCI zu 7.2.3)

Innendruckbeiwert lt. Formel [2]: μ = 12 m²  /  32 m² = 0,375
Aus Bild 5: cpi = 0,28

Sicherheitsfaktor SF = 1,5

Mit Formel [1a] [ Wsog = q * (cpe + cpi) * SF ] berechnen sich die Windsogkräfte in den 4 Dachbereichen wie folgt:

Weck               = 1,35 kN/m² * (2,5 + 0,28) * 1,5
= 5,63 kN /m²

WRand außen        = 1,35 kN/m² * (2,0 + 0,28) * 1,5
= 4,62 kN /m²

WRand innen         = 1,35 kN/m² * (1,2 + 0,28) * 1,5
= 3,0 kN /m²

Winnen              = 1,35 kN/m² * (0,6 + 0,28) * 1,5
= 1,78 kN /m²


Steildächer

Dächer mit einer Dachneigung >= 5° gelten als Steildächer. Unterschieden werden Pultdach, Satteldach, Walmdach, Sheddach, gekrümmte Dächer und Kuppeln. Schmetterlings- und Trogdächer sind dabei eine Variante des Satteldaches. Sheddächer basieren auf Pult- oder Satteldach mit Abminderungsfaktoren für die innenliegenden Sheddachflächen. Mischformen wie Krüppelwalm- dächer, Mansarddach, Berliner Dach (straßenseitig Mansarde, hofseitig Flachdach) u.s.w. sind aus den Grundformen abzuleiten.

 

Eine Beschreibung der Flächenaufteilung samt Interpretation der zugehörigen Formbeiwerte möchte ich hier nicht durchführen. Zum einen sind alle Angaben in der DIN EN 1991-1-4 ausführlich nachzulesen, zum anderen wäre die Flächenbildung durch Überlagerung der Teildachflächen bei bis zu 9 Teilflächentypen viel zu komplex, als dass hierbei noch eine manuelle Lösung machbar wäre.
Interessierte können sich unter www.friedrich-datentechnik.de eine Test-Version von MF_Steildach herunterladen. Diese führt die Berechnung samt Flächenaufteilung, Überlagerung und Optimierung vollautomatisch durch und stellt die Ergebnisse grafisch dar.

 

Achtung:      Wie bereits in Teil 1 dieser Schriftenreihe erwähnt, fallen deutsche Ziegeldächer nicht in den Geltungsbereich der DIN EN 1991-1-4, da es sich hierbei um „kleinformatige, hinterströmbare Dach- und Wandbekleidungen“ nach DIN EN 1991-1-4/NA NDP zu 1.1 (11) Anmerkung 1 handelt.
Metalldächer, Wellplattendächer und mit Dachbahnen abgedichtete Steildächer sind zwingend nach DIN EN 1991-1-4 zu bemessen.

 

 

 

Anmerkung

Diese Schriftenreihe wendet sich an Leser, welche sich zum ersten mal mit dem Thema Windsog am Dach beschäftigen. Daher habe ich einige Details nicht vertieft oder schlicht und einfach unter-schlagen. Dinge wie Vorzeichen bei Formbeiwerten, standzeitabhängige Sicherheitsfaktoren u.a.m. habe ich der einfachen Lesbarkeit geopfert. Profis werden um ein detailliertes Studium der Original-Norm nicht herumkommen.

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